ما هو المعكوس الضربي للأعداد المركبة والمصفوفات

ما هو المعكوس الضربي What is the multiplicative inverse الرياضيات من المواد الدراسية التي تغذي العقل وتنشطه، ويعتبر المعكوس الضربي من المسائل الرياضية الصعبة نوعًا ما وتحتاج إلى تركيز وتفكير من الطلاب لإجراء الحسابات الرياضية الصحيحة للوصول إلى الحل، فيُمكن إيجاد المعكوس الضربي لأي عدد من خلال طرق عديدة، سوف نوضحها بالكامل اليوم، فتابعوا معنا.

ما هو المعكوس الضربي

المعكوس الضربي يطلق عليه أيضا مسمى المقلوب العددي، ويستخدم في عدد كبير جدًا من التطبيقات في الرياضيات والعلوم، وهو من أهم المفاهيم التي يتضمنها علم الرياضيات، فهو عبارة عن عدد عند ضربه بالعدد الأصلي ينتج عنه القيمة  1 وهو العنصر المحايد في عملية الضرب؛ ويمكن تعريفه كذلك بأنه عملية ضرب عددين بحيث تكون النتيجة 1، أي يُرمز للمُعكوس الضربي للعدد x بالرمز 1/x.

ما هو المعكوس الضربي وخصائصه

في إطار التعرف على ما هو المعكوس الضربي، يمكننا القول إن م.ض. وهو الاختصار الذي يشير للمعكوس الضربي لعدد لا بد أن يكون مقلوبه، وبالتالي، فإن م.ض لجذر 6 + جذر 7 لا بد أن يساوي واحدًا على جذر ستة زائد جذر سبعة. وذلك لأن واحدًا على جذر ستة زائد جذر سبعة هو مقلوب جذر ستة زائد جذر سبعة.

ومن ناحية أخرى إذا ضربناهما معًا، فسوف نحصل على جذر ستة زائد جذر سبعة على جذر ستة زائد جذر سبعة. وهذا يساوي واحدًا، وهو ما نريده، ومن هنا تتضح خصائص المعكوس الضربي، كما يلي:

• يُمكن استخدام م.ض للعدد من أجل الحصول على المعكوس الجمعي للعدد، ويكون العكس صحيح.
• في حال كان x = 0، فالمعكوس الضربي له يكون غير معرف.
• إذا كان x عددًا سالبًا، فإن المُعكوس الضربي له هو -1/

تطبيقات المعكوس الضربي

نستكمل التعرف على ما هو المعكوس الضربي، بذكر التطبيقات التي يُستخدم فيها، ومنها نذكر ما يلي:

1- حل المعادلات

المُعكوس الضربي يستخدم في حل المعادلات، مثل: المعادلة x + 2 = 5، لإيجاد قيمة x الصحيحة فيجب ضرب جانبي المعادلة بالمُعكوس الضربي للعدد 2 .

2- إيجاد المتوسط الحسابي لمجموعة من الأرقام

يساعد المعكوس الضربي في الحصول على المتوسط الحسابي لمجموعة من الأرقام، حيث نذكر المثال التالي:

حساب المتوسط الحسابي لمجموعة الأرقام {1, 2, 3, 4, 5}، يتم من خلال قسمة مجموع الأرقام على عدد الأرقام.

3- إيجاد المُنحدر للخط المستقيم

يتم إيجاد المُنحدر للخط المستقيم من خلال المعكوس الضربي، ومنها المثال التالي:

إيجاد المُنحدر إذا كان الخط المستقيم هو y = mx + b، عن طريق قسمة التغير في y على التغير في x.

طرق إيجاد المعكوس الضربي

في ظل البحث عن تفاصيل ما هو المعكوس الضربي، وجدنا طرق عديدة لإيجاده تتمثل فيما يلي:

• الطريقة الأولى: تتوفر العديد من جداول المعكوس الضربي للأعداد المختلفة يمكن الاستعانة بها بكل سهولة.
• الطريقة الثانية: استخدم الآلة الحاسبة التي تحتوي على مفتاح مُخصص لحساب المعكوس الضربي.
• الطريقة الثالثة: قسم 1 على العدد، فمثلًا x = 3، فإن المُعكوس الضربي له هو 1/3 = 0.3333…

ما هو المعكوس الضربي للأعداد المركبة

إن كنت تتساءل عما هي الأعداد المركبة، فيجدر بنا القول أنها عبارة عن أرقام لها جزء حقيقي وجزء تخيلي، ولتوضيح ذلك اطلع على المثال التالي:

العدد المركب 3 + 4i  هو عدد مركب يتكون من الجزء الحقيقي 3 والجزء التخيلي 4i  ، فالمعكوس الضربي للعدد المركب هو العدد المركب الذي عند ضربه في العدد المركب الأصلي ينتج 1.

المُعكوس الضربي للمصفوفات

المصفوفة عبارة عن جدول من الأرقام، وفي ظل التعرف على ما هو المعكوس الضربي، نجد أن م.ض للمصفوفة هو المصفوفة التي عند ضربها في المصفوفة الأصلية ينتج مصفوفة متطابقة، فمثلًا:

المصفوفة [[1, 2], [3, 4]] لها المُعكوس الضربي [[1, -2], [-3, 4]].

متى يكون للمصفوفة معكوس ضربي؟

المصفوفة ﺃ يكون لها معكوس ضربي دائمًا في حال كان محدد ﺃ لا يساوي صفرًا، وبالتالي يمكن دائمًا حساب معكوسها، وبالمثل المصفوفة ﺃ لن يكون لها معكوس ضربي في أي حالة أخرى؛ ويمكن توضيح ذلك من خلال استخدام طريقة المصفوفة الملحقة، فعلى سبيل المثال، إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفرًا، فإننا نسمي هذه المصفوفة مصفوفة منفردة.

من ناحية أخرى توجد حالة خاصة لا يمكن فيها حساب محدد المصفوفة، وذلك في حال لم تكون المصفوفة مربعة أو تكون مستطيلة ففي هذه الحالة لا يكون للمصفوفة معكوس ضربي؛ لكن ربما يكون لها م.ض أيمن أو أيسر، لكنهما غير متساويان.

ما هو المعكوس الضربي للعدد 6

م.ض للعدد 6 من أبرز الأسئلة المطروحة في مادة الرياضيات لكل من التعليم المتوسط أو الإعدادي، في فرع الجبر أو الهندسة، فالمعكوس الضربي أو المعاكس الضربي يعرف بأنه العدد الذي إذا تم ضربه في العدد الأصلي يكون الناتج 1، وبالتالي فإن المعكوس الضربي للعدد 6 يكون 1/6 (سدس).

ما هو المعكوس الضربي للصفر

يعتبر الصفر رقم نسبي، وذلك لأنه يتم التعبير عنه بنسبة 0/1، وهي كسر مكون من عددين صحيحين، حيث البسط يساوي صفر ومقامه يساوي 1، أما المعكوس الضربي للرقم صفر يساوي صفر.

ماذا يقصد بالمعكوس الجمعي

في مادة الرياضيات يسمى المعكوس الجمعي بالعديد من المسميات ومنها “المقابل”، وهو عبارة عن عدد صحيح نسبي يخضع إلى الخاصية الحسابية العكسية، وكل عدد سالب معكوس جمعي موجب وكل عدد موجب معكوس جمعي سالب، ويعتبر الصفر هو العدد الوحيد الذي يكون معاكسه الجمعي هو نفسه، مثال:

المعاكس الجمعي للعدد −0.5 هو العدد 0.5  بسبب −0.5 + 0.5 = 0.

كما يوجد فرق جوهري بين كلًا من المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي، وسنوضحه بالتفصيل من خلال ما يلي:

• المعكوس الجمعي للعدد يدخل في عمليات الجمع.
• المعكوس الضربي للرقم يدخل في عمليات الضرب.
• الناتج من المعكوس الجمعي يكون صفر.
• ناتج المعكوس الضربي يكون واحد صحيح.

ما هو العدد النسبي الذي ليس له معكوس ضربي؟

الصفر هو العدد النسبي الذي لا يوجد له معكوس ضربي، حيث إن جميع الأعداد النسبية لها معكوس ضربي ، وتلك خاصية من خصائص الأعداد النسبية، حيث تُكتب الأعداد النسبية على شكل أ / ب بينما يكون معكوس ضربي ب / أ، ولكن مع استثناء العدد صفر، وذلك لأن وجود الصفر في المقام يمنع من وجود معكوس ضربي، فعلى سبيل المثال:

• 4/5 معكوسه الضربي يساوي 5/4.
• 0/ 6 ليس له معكوس ضربي لأن القيمة 6/ 0 غير معرّفة.
• العدد النسبي -5/12 معكوسه الضربي يساوي -12/5.

هكذا تعرفنا على ما هو المعكوس الضربي بالتفصيل، فلكل عدد نسبي معكوسه الضربي، لكن مع استثناء الفر لأن القيمة الناتجة عنه غير معرفة.